Gesicht:

Summen von Progressionen: -1, -2, -3, -4, -5... 1,2,3,4,5...

Wir drücken sie mit Formeln aus: S_n= (a₁n²+n)/2, ; S_n-1=(a₁n²-n)/2,. (n ist die Anzahl der zu summierenden Terme, a₁ ist der erste Term der Progression. Bei negativem oder positivem n-Wert sind die Ausdrücke S_n-1 und S_n-2 als Subtraktion von der Nummer des jeweils genommenen Terms zu verstehen.)

Erste Option:

Beispiel: S_n= (a₁n²+n)/2.

Für n= -5 haben wir: (-1*(-5)²+(-5))/2=-15;                    Für n= 5 haben wir: (1*(5)²+5)/2=15

Beispiel: S_n-1=(a₁n²-n)/2.

Für n= -5 haben wir: (-1*(-5)²-(-5))/2=-10;                    Für n= 5 haben wir: (1*(5)²-5)/2=10

Dreieckig:

Summen der Progressionen: -1, -3, -6, -10, -15....1, 3, 6, 10, 15....

Ausgedrückt durch Formeln: S_n= ((n+a₁)³-(n+a₁))/6, S_n= (n³-n)/6+(a₁n²+n)/2;  S_n-1=(n³-n)/6; S_n-2=((n-a₁)³-(n-a₁))/6, S_n-2=(n³-n)/6-(a₁n²-n)/2.

Erste Option:

Beispiel: S_n= ((n+a₁)³-(n+a₁))/6.

Für n= -5 haben wir: ((-5+(-1))³-(-5+(-1)))/6=-35;                    Für n= 5 haben wir: ((5+1)³-(5+1))/6=35

Beispiel: S_n-2=((n-a₁)³-(n-a₁))/6.

Für n= -5 haben wir: ((-5-(-1))³-(-5-(-1)))/6=-10;                    Für n= 5 haben wir: ((5-1)³-(5-1))/6=10

Zweite Option:

Beispiel: S_n= (n³-n)/6+(a₁n²+n)/2.

Für n= -5 haben wir: ((-5)³-(-5))/6+(-1*(-5)²+(-5))/2= -35;                    Für n= 5 haben wir: (5³-5)/6+(1*(5)²+5)/2= 35

Beispiel: S_n-1=(n³-n)/6.

Für n= -5 haben wir: ((-5)³-(-5))/6= -20;                    Für n= 5 haben wir: (5³-5)/6=20

Beispiel: S_n-2=(n³-n)/6-(a₁n²-n)/2.

Für n= -5 haben wir: ((-5)³-(-5))/6 -(-1*(-5)²-(-5))/2= -10;                    Für n= 5 haben wir: (5³-5)/6-(1*(5)²-5)/2= 10

Tetraedrisch:

Für negative Terme einer Zahlenreihe, potenziert mit der 2. Potenz, gilt die imaginäre Zahl i. Beispiel: a₁=(1i)²=-1; a₂=(2i)²=-4; a₃=(3i)²=-9; a₄=(4i)²=-16; a₅=(5i)²=-25....

Die Summen der Reihen -1, -4, -9, -16, -25… 1,4,9,16,25…

Wir drücken sie mit Formeln aus: S_n= a₁(n+a₁)(a₁n²+0,5n)/3,  S_n= (n³-n)/3 + (a₁n²+n)/2;  S_n-1= a₁(n-a₁)(a₁n²-0,5n)/3, S_n-1=(n³-n)/3 - (a₁n²-n)/2.

Erste Option:

Beispiel: S_n=a₁(n+a₁)(a₁n²+0,5n)/3.

Für n= -5 haben wir: -1(-5+(-1))*(-1*(-5)²+(-2,5))/3=-55;                    Für n= 5 haben wir: 1(5+1)(1*(5)²+2,5)/3=55

Beispiel: S_n-1= a₁(n-a₁)(a₁n²-0,5n)/3.

Für n= -5 haben wir: -1(-5-(-1))*(-1*(-5)²-(-2,5))/3=-30;                    Für n= 5 haben wir: 1(5-1)(1*(5)²-2,5)/3=30

Zweite Option:

Beispiel: S_n= (n³-n)/3 + (a₁n²+n)/2.

Für n= -5 haben wir: ((-5)³-(-5))/3 + (-1*(-5)²+(-5))/2= -55;                    Für n= 5 haben wir: (5³-5)/3 + (1*(5)²+5)/2= 55

Beispiel: S_n-1= (n³-n)/3 -(a₁n²-n)/2.

Für n= -5 haben wir: ((-5)³-(-5))/3 -(-1*(-5)²-(-5))/2= -30;                    Für n= 5 haben wir: (5³-5)/3 -(1*(5)²-5)/2= 30

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